最近在上一门课，叫做《机器人导论》。最近一段时间这门课主要讲机器人的运动学相关内容，其实就是一些具体应用场景下的坐标变换。其中，在讲“联体坐标变换”时有这么一句话，叫“右乘联体左乘基”。开始没有过多引起注意，直到后来两次课听得越来越晕，才在严神一句话下点醒：
“你知道你为什么听不懂？因为你没有深刻理解‘右乘联体左乘基’的含义，只是死记硬背……”
接着，借着严神给的资料和自己之前看过的一些内容，说一下现在自己对这个问题的理解。
首先，让我们看看书上对于联体坐标变换给出的定义：
首先，让我们看看书上对于联体坐标变换给出的定义：
对于坐标系\(\left \{ A \right \}\) 、 \(\left \{ B \right \}\) 和 \(\left \{ C \right \}\),假设\(\left \{ A \right \}\)是参考坐标系（基坐标系），则\(\left \{ B \right \}\)相对于\(\left \{ A \right \}\)的坐标变换以及\(\left \{ C \right \}\)相对于\(\left \{ B \right \}\)的坐标变换称为联体坐标变换。
设\(\left \{ B \right \}\)在\(\left \{ A \right \}\)中的表示为\(T_{1}\)，\(\left \{ C \right \}\)在\(\left \{ B \right \}\)中的表示为\(T_{2}\)，刚体在\(\left \{ C \right \}\)中的表示为\(T_{3}\)，则
\[T=T_{1}T_{2}T_{3}\]
上式可以理解为，从基坐标系变换到联体坐标系的变换采用右乘；也可以理解为，从基坐标系变换到基坐标系的变换采用左乘。简记为“右乘联体左乘基”。
设\(\left \{ B \right \}\)在\(\left \{ A \right \}\)中的表示为\(T_{1}\)，\(\left \{ C \right \}\)在\(\left \{ B \right \}\)中的表示为\(T_{2}\)，刚体在\(\left \{ C \right \}\)中的表示为\(T_{3}\)，则
\[T=T_{1}T_{2}T_{3}\]
上式可以理解为，从基坐标系变换到联体坐标系的变换采用右乘；也可以理解为，从基坐标系变换到基坐标系的变换采用左乘。简记为“右乘联体左乘基”。
说实话，看了半天，我还是没有理解什么是联体坐标变换（智商余额不足，需要充值了……）。
现在回忆起来，感觉书上定义的主要问题是，没有明确说明上式中的哪部分“左/右乘”被定义为“基/联体变换”。其实最简单的理解方式为：
- 如果对刚体进行多次线性变换，每次变换都相对于基坐标系变换，则称为“基变换”；
- 如果对刚体进行多次线性变换，每次变换都相对于新坐标系变换，则成为“联体变换”。
举例来说，比如刚体\(r\)在坐标系\(\left \{ A \right \}\) 中表示为\(T_{r}\)，现在将刚体在坐标系\(\left \{ A \right \}\) 中先后绕\(y\)、\(z\)、\(x\)轴旋转30、15、45度，那么这一变换可以表示为：
\[
T=T_3 \cdot T_2 \cdot T_1 = Rot(x, \pi/4) Rot(z, \pi/12) Rot(y, \pi/6)
\]
\[
T=T_3 \cdot T_2 \cdot T_1 = Rot(x, \pi/4) Rot(z, \pi/12) Rot(y, \pi/6)
\]
由于每次变换都相对于坐标系\(\left \{ A \right \}\)进行变换，因此称为“基变换”；又由于新变换都在前次变换矩阵的左侧乘上新的变换矩阵，因此相应的变换操作为“左乘”；
另一方面，也可以认为一与刚体固联的假想坐标系\(\left \{ A^{'} \right \}\)开始时与坐标系\(\left \{ A \right \}\) 重合，然后该坐标系先绕\(x\)轴转了45度（变成了与坐标系\(\left \{ A \right \}\)不重合的状态），然后该坐标系又绕自身\(z\)轴转了15度，然后该坐标系又绕自身\(y\)轴转了30度。
由于每次变换都相对于变换后的坐标系进行变换，因此称为“联体变换”；又由于新变换都在前次变换矩阵的右侧乘上新的变换矩阵，因此相应的变换操作为“右乘”。
2023年1月19日 18:53
"Right multiplied conjoined left multiplied base" is a mathematical term that describes a certain way of multiplying numbers. This method cbd oil health benefits is often used when multiplying fractions or decimals, as it can help to simplify the calculation. In general, this term means that you multiply the number on the right by the number on the left, and then multiply the result by the base number.
2023年6月27日 20:02
从基坐标系变换到基坐标系的变换采用左乘。简记为“右乘联体左乘基”。
应该是联体坐标系转换到基坐标系吧？