最近在上一门课，叫做《机器人导论》。最近一段时间这门课主要讲机器人的运动学相关内容，其实就是一些具体应用场景下的坐标变换。其中，在讲“联体坐标变换”时有这么一句话，叫“右乘联体左乘基”。开始没有过多引起注意，直到后来两次课听得越来越晕，才在严神一句话下点醒：
“你知道你为什么听不懂？因为你没有深刻理解‘右乘联体左乘基’的含义，只是死记硬背……”
接着，借着严神给的资料和自己之前看过的一些内容，说一下现在自己对这个问题的理解。
首先，让我们看看书上对于联体坐标变换给出的定义：
首先，让我们看看书上对于联体坐标变换给出的定义：
对于坐标系\(\left \{ A \right \}\) 、 \(\left \{ B \right \}\) 和 \(\left \{ C \right \}\),假设\(\left \{ A \right \}\)是参考坐标系（基坐标系），则\(\left \{ B \right \}\)相对于\(\left \{ A \right \}\)的坐标变换以及\(\left \{ C \right \}\)相对于\(\left \{ B \right \}\)的坐标变换称为联体坐标变换。
设\(\left \{ B \right \}\)在\(\left \{ A \right \}\)中的表示为\(T_{1}\)，\(\left \{ C \right \}\)在\(\left \{ B \right \}\)中的表示为\(T_{2}\)，刚体在\(\left \{ C \right \}\)中的表示为\(T_{3}\)，则
\[T=T_{1}T_{2}T_{3}\]
上式可以理解为，从基坐标系变换到联体坐标系的变换采用右乘；也可以理解为，从基坐标系变换到基坐标系的变换采用左乘。简记为“右乘联体左乘基”。
设\(\left \{ B \right \}\)在\(\left \{ A \right \}\)中的表示为\(T_{1}\)，\(\left \{ C \right \}\)在\(\left \{ B \right \}\)中的表示为\(T_{2}\)，刚体在\(\left \{ C \right \}\)中的表示为\(T_{3}\)，则
\[T=T_{1}T_{2}T_{3}\]
上式可以理解为，从基坐标系变换到联体坐标系的变换采用右乘；也可以理解为，从基坐标系变换到基坐标系的变换采用左乘。简记为“右乘联体左乘基”。
说实话，看了半天，我还是没有理解什么是联体坐标变换（智商余额不足，需要充值了……）。
现在回忆起来，感觉书上定义的主要问题是，没有明确说明上式中的哪部分“左/右乘”被定义为“基/联体变换”。其实最简单的理解方式为：
- 如果对刚体进行多次线性变换，每次变换都相对于基坐标系变换，则称为“基变换”；
- 如果对刚体进行多次线性变换，每次变换都相对于新坐标系变换，则成为“联体变换”。
举例来说，比如刚体\(r\)在坐标系\(\left \{ A \right \}\) 中表示为\(T_{r}\)，现在将刚体在坐标系\(\left \{ A \right \}\) 中先后绕\(y\)、\(z\)、\(x\)轴旋转30、15、45度，那么这一变换可以表示为：
\[
T=T_3 \cdot T_2 \cdot T_1 = Rot(x, \pi/4) Rot(z, \pi/12) Rot(y, \pi/6)
\]
\[
T=T_3 \cdot T_2 \cdot T_1 = Rot(x, \pi/4) Rot(z, \pi/12) Rot(y, \pi/6)
\]
由于每次变换都相对于坐标系\(\left \{ A \right \}\)进行变换，因此称为“基变换”；又由于新变换都在前次变换矩阵的左侧乘上新的变换矩阵，因此相应的变换操作为“左乘”；
另一方面，也可以认为一与刚体固联的假想坐标系\(\left \{ A^{'} \right \}\)开始时与坐标系\(\left \{ A \right \}\) 重合，然后该坐标系先绕\(x\)轴转了45度（变成了与坐标系\(\left \{ A \right \}\)不重合的状态），然后该坐标系又绕自身\(z\)轴转了15度，然后该坐标系又绕自身\(y\)轴转了30度。
由于每次变换都相对于变换后的坐标系进行变换，因此称为“联体变换”；又由于新变换都在前次变换矩阵的右侧乘上新的变换矩阵，因此相应的变换操作为“右乘”。
